Question

如圖，在中tan

C

2

=

1

2

，

AH

•(

AB

-

AC

)=0，則過點C，以A，H為兩焦點的雙曲線的離心率為

2

．

Answer 1

分析：如圖，利用圖中焦點三角形AHC，結合雙曲線的離心率的定義，充分利用直角三角形的幾何性質，即可求得雙曲線的離心率．

解答：解：∵

AH

•

CB

=0，
所以AH⊥BC，
∴tanC=

2tan C 2

1-tan2 C 2

=

1

1- 1 4

=

4

3

，
令AH=4t，AC=5t，
所以e=

AH

CA-CH

=

4t

5t-3t

=2．
故答案為：2．

點評：本題考查結合雙曲線的離心率的定義，圓錐曲線中的離心率反映了圓錐曲線的形狀，也反映了圓錐曲線上的點到焦點和到準線的距離的關系，充分利用直角三角形的幾何性質，即可求得雙曲線的離心率．