Question

已知f（x）=ln（e^x+a）是定義域為R的奇函數，g（x）=λf（x）．
（1）求實數a的值；
（2）若g（x）≤xlog₂x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函數f（x）=ln（e^x）=x，經檢驗滿足條件，故所求實數a的值為0．
（2）根據f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log₂x在x∈[2，3]上恒成立，求出函數y=log₂x在x∈[2，3]上的最小值為log₂2=1，可得λ的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）=ln（e^x+a）是定義域為R的奇函數，
令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函數f（x）=ln（e^x）=x． …（4分）
顯然有f（-x）=-f（x），函數f（x）=x是奇函數，滿足條件，所求實數a的值為0．…（6分）
（2）f（x）=x，g（x）=λx，則λx≤xlog₂x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log₂x在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）
∵函數y=log₂x在x∈[2，3]上的最小值為log₂2=1，…（11分）
∴λ≤1，即λ的取值范圍為（-∞，1]．…（12分）

點評：本題主要考查函數的奇偶性，對數函數的圖象和性質，屬于中檔題．