Question

已知點A（-1，0），B（1，-1），拋物線C：y²=4x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M，P，直線MB交拋物線C于另一點Q．
（I）若向量與的夾角為，求△POM的面積；
（Ⅱ）證明直線PQ恒過一個定點．

Answer 1

【答案】分析：（I）設點p，M，A三點共線進而可知AM和PM的斜率相等求得y₁y₂=4進而根據向量積的運算和兩向量的夾角，求得的值，進而利用三角形面積公式求得三角形POM的面積．
（II）設出Q的坐標，根據M，B，Q共線，利用BQ和QM的斜率相等利用點的坐標求得y₁y₃+y₁+y₃+4=0．，把y₁y₂=4代入求得y₂和y₃的關系式，表示出PQ的斜率，進而可表示出直線PQ的方程，進而利用4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0求得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1），進而可推斷出直線PQ過定點．
解答：解：（I）設點p，M，A三點共線，∴k_AM=k_PM，
即，即，∴y₁y₂=4，
∴．
∵向量與的夾角為45°，∴，
∴．
（II）設點，y₃），
∵M，B，Q三點共線，∴k_BQ=k_QM，
即，即，
∴（y₃+1）（y₁+y₃）=y₃²-4，即y₁y₃+y₁+y₃+4=0．
∵y₁y₂=4，即，∴，
即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0．（*）∵，
∴直線PQ的方程是，
即（y-y₂）（y₂+y₃）=4x-y₂²，即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x．
由（*）式，-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，代入上式，得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1）．
由此可知直線PQ過定點E（1，-4）．
點評：本題主要考查了拋物線的應用，平面解析幾何的基礎知識．考查了學生分析推理和基本的運算能力．