Question

設F₁、F₂為橢圓的左右焦點，過橢圓的中心任作一直線與橢圓交于PQ兩點，當四邊形PF₁QF₂面積最大時，的值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：欲求四邊形PF₁QF₂面積最大時，的值，根據圖形的幾何性質得到該四邊形是平行四邊形．
此四邊形可以成兩個全等三角形的組合圖形，，當θ取最大值時四邊形PF₁QF₂面積最大，易得當點P、Q分別在上下頂點時符合要求．于是cosθ，即可得到結果．
解答：解：因為四邊形是平行四邊形，
所以，四邊形可以成兩個全等三角形的組合圖形，則；
當θ取最大值時四邊形PF₁QF₂面積最大，sinθ=
即當點P、Q分別在上下頂點時，θ取最大值，四邊形PF₁QF₂面積最大，
令橢圓的實半軸為a=5，虛半軸為b=4，焦半徑為c
此時，cosα=a²=25×=7．
故答案為7．
點評：本題考查平面向量數量積的運算，同時還考查與橢圓相關的知識．