Question

二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，AC?α，BC?β，∠BCF=45°，∠ACB=60°，則AC與平面β所成的角等于（　　）

A．60°

B．30°

C．45°

D．75°

Answer 1

分析：在AC上取一點G，在平面α內過G點作GD⊥EF于D，在平面β內過點D作DH⊥BC于H，連接GH．先利用平面α與平面β互相垂直，證出CD是直線AC在平面β內的射影，得到∠GCD是直線AC與平面β所成的角，再利用直線與平面垂直的判定定理，證出BC⊥平面GDH，從而得到BC⊥GH．設CH=1，分別在Rt△CGH中和Rt△CDH中利用余弦的定義，計算出CG=2，CD=

2

，最后在Rt△GCD中，計算出∠GCD的余弦值為

2

2

，可得∠GCD=45°，從而AC與平面β所成的角等于45°．

解答：解：如圖，在AC上取一點G，在平面α內過G點作GD⊥EF于D，在平面β內過點D作DH⊥BC于H，連接GH
∵二面角α-EF-β是直二面角，∴α⊥β
∵α∩β=EF，GD?α，GD⊥EF，
∴GD⊥平面β，
∴∠GCD是直線AC與平面β所成的角，
∵BC?平面β，∴BC⊥GD
又∵BC⊥DH，GD∩DH=D，GD、DH?平面GDH
∴BC⊥平面GDH
∵GH?平面GDH，∴BC⊥GH，
Rt△CGH中，∠GCH=60°，設CH=1，則CG=

CH

cos60°

=2，
Rt△CDH中，∠DCH=45°，得CD=

CH

cos45°

=

2

∴Rt△GCD中，cos∠GCD=

CD

CG

=

2

2

，可得∠GCD=45°
即AC與平面β所成的角等于45°
故選C

點評：本題在兩個平面所成角為直角的情況下，已知一個平面內與交線成45度角的直線跟另一平面內過斜足的直線成60度角，通過求直線與平面所成的角，考查了平面與平面垂直的性質和直線與平面垂直的判定與性質等知識點，屬于中檔題．