Question

過定點A(a，b)任作互相垂直的兩直線l₁與l₂，且l₁與x軸相交于M點，l₂與y軸相交于N點，求線段MN中點P的軌跡方程.

Answer 1

解法一:設M(x₁，0)，N(0，y₁)，P(x，y).

∵P點為線段MN的中點，

∴∴                                                                                                    ①

又∵l₁⊥l₂，∴|AM|²＋|AN|²＝|MN|²,

即(x₁－a)²＋(0－b)²＋(y₁－b)²＋(0－a)²＝(x₁－0)²＋(y₁－0)²,

即(x₁－a)²＋a²＋(y₁－b)²＋b²＝x₁²＋y₁².                                                                     ②

把①代入②化簡得2ax＋2by－a²－b²＝0，即為P點的軌跡方程.

解法二:設P(x，y).

①當AM與x軸不垂直時，∵P為MN中點，∴M(2x，0)，N(0，2y).

又k_AM＝，k_BN＝，l₁⊥l₂,∴·＝－1.

化簡得2ax＋2by－a²－b²＝0.                                                                                    ①

②當AM⊥x軸時，AM的斜率不存在，此時MN中點坐標(，)滿足方程①.

綜上所述，得P點的軌跡方程為2ax＋2by－a²－b²＝0.