Question

在一個盒子中有大小一樣的7個球，球上分別標有數字1，1，2，2，2，3，3．現從盒子中同時摸出3個球，設隨機變量X為摸出的3個球上的數字和．
（1）求概率P（X≥7）；
（2）求X的概率分布列，并求其數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（1）X≥7表示取到2個2號球和1個3號球，或取到1個2號球和2個3號球，或取到1個1號球2個3號球，由此能求出P（X≥7）．
（2）由題設知X的可能取值分別為4，5，6，7，8，分別求出P（X=4），P（X=5），P（X=6），P（X=7），P（X=8）．由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（1）X≥7表示取到2個2號球和1個3號球，或取到1個2號球和2個3號球，或取到1個1號球2個3號球，
∴P（X≥7）=

C 2 3 •C 1 2

C 3 7

+

C 1 3 • C 2 2

C 3 7

+

C 1 2 • C 2 2

C 3 7

=

11

35

．
（2）由題設知X的可能取值分別為4，5，6，7，8，
P（X=4）=

C 2 2 • C 1 3

C 3 7

=

3

35

，
P（X=5）=

C 1 2 • C 2 3

C 3 7

+

C 2 2 • C 1 2

C 3 7

=

8

35

，
P（X=6）=

C 3 3

C 3 7

+

C 1 2 • C 1 3 • C 1 2

C 3 7

=

13

35

，
P（X=7）=

C 2 3 •C 1 2

C 3 7

+

C 1 2 • C 2 2

C 3 7

=

8

35

，
P（X=8）=

C 1 3 • C 2 2

C 3 7

=

3

35

．
∴X的分布列為：

X	4	5	6	7	8
P	3 35	8 35	13 35	8 35	3 35

∴EX=4×

3

35

+5×

8

35

+6×

13

35

+7×

8

35

+8×

3

35

=6．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．