Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a2=

1

3

，公比q=

1

3

，設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n．
（1）求數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=

1

bn+1

求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）先由等比數(shù)列{a_n}中，a2=

1

3

，公比q=

1

3

，求出a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再利用對數(shù)的運(yùn)算法則得出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）c_n=

1

bn+1

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），裂項(xiàng)后計(jì)算化簡即可．

解答：解：（1）∵a2=

1

3

，公比q=

1

3

，∴a₁=1，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（

1

3

）^n-1=3^1-n，
∴l(xiāng)og₃a_n=1-n，
b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-（1+2+…+n-1）=-

n(n-1)

2

，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=-

n(n-1)

2

．
（2）c_n=

1

bn+1

=-

2

n(n+1)

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．Tn=c1+c2+…+cn
=-2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=-2（1-

1

n+1

）
=-

2n

n+1

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，等差數(shù)列求和計(jì)算，裂項(xiàng)法求和．屬于基礎(chǔ)題．