Question

過拋物線x²=4y上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于點P（x，y），．
（1）求y；
（2）求證：直線AB恒過定點；
（3）設（2）中直線AB恒過定點F，是否存在實數λ，使恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A，B的坐標，求得直線PA、PB的方程，利用，可得y；
（2）求出直線AB的方程，令x=0，結合（1）的結論，即可證得直線AB恒過定點；
（3）利用坐標表示向量，結合數量積公式，即可得到結論．
解答：（1）解：設，，（x₁≠x₂）．
由x²=4y，得：，∴，
∵，∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．
直線PA的方程是：，即．①
同理，直線PB的方程是：．②
由①②得：，（x₁，x₂∈R）．…（4分）
（2）證明：由（1）可得直線AB的方程為
令x=0，可得，
∵，∴y=1
∴直線AB恒過點（0，1）…（8分）
（3）解：由（1）得：，，x₁x₂=-4，
∴
∵，∴，
∴，
∴．
故存在λ=1使得．…（12分）
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查直線恒過定點，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．