Question

在三角形△ABC中，a，b，c分別為角A、B、C所對的邊，sin²C=sin（A+B）•sin（A-B）則A=

 

；若a=6，則三角形ABC內切圓半徑r的最大值是

 

．

Answer 1

分析：結合三角形的內角和公式可得A+B=π-C，代入已知sin²C=sin（A+B）•sin（A-B）化簡可得，sinC=sin（A-B），根據角的范圍從而可得A-B=C或A-B+C=π，從而可求結果；根據當三角形是一個等腰直角三角形時，內切圓的半徑最大，根據勾股定理得到結果．

解答：解：∵A+B=π-C，
∴sin²C=sin（π-C）•sin（A-B）
∴sin²C=sinC•sin（A-B）
∴sinC=sin（A-B）
∴C=A-B或C+A-B=π（舍去）
∴C+B=A
∴A=

π

2

∵當三角形是一個等腰直角三角形時，內切圓的半徑最大，
∴直角邊的長度是x，有2x²=36
∴x=3

2

根據從圓外一點引圓的兩條切線，切線長度相等，
得到內切圓的半徑是3

2

-3
故答案為：

π

2

；3

2

-3

點評：本題主要考查了三角形的內角和公式和誘導公式，本題解題的關鍵是根據三角形內角和做出結果，本題是一個基礎題．