Question

（2001•江西）設0＜θ＜

π

2

，曲線x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ-y²sinθ=1有4個不同的交點．
（Ⅰ）求θ的取值范圍；
（Ⅱ）證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）聯立方程，組成方程組，有4個不同交點等價于x²＞0，且y²＞0，即可求θ的取值范圍；
（Ⅱ）確定圓的圓心在原點，半徑為r=

2cosθ

(0＜θ＜

π

4

)，從而可求圓半徑的取值范圍．

解答：（I）解：兩曲線的交點坐標（x，y）滿足方程組

x2sinθ+y2cosθ=1 x2cosθ-y2sinθ=1

即

x2=sinθ+cosθ y2=cosθ-sinθ.

有4個不同交點等價于x²＞0，且y²＞0，即

sinθ+cosθ＞0 cosθ-sinθ＞0.

又因為0＜θ＜

π

2

，所以得θ的取值范圍為（0，

π

4

)．
（II）證明：由（I）的推理知4個交點的坐標（x，y）滿足方程x2+y2=2cosθ(0＜θ＜

π

4

)，
即得4個交點共圓，該圓的圓心在原點，半徑為r=

2cosθ

(0＜θ＜

π

4

)．
因為cosθ在(0，

π

4

)上是減函數，所以由cos0=1，cos

π

4

=

2

2

，
知r的取值范圍是(

4	2

，

2

)．

點評：本小題主要考查坐標法、曲線的交點和三角函數性質等基礎知識，以及邏輯推理能力和運算能力．