Question

（2013•深圳二模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 的漸近線方程為 y=±

3

x，則以它的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓的離心率等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．1

Answer 1

分析：根據雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x，算出b=

3

a，c=2a．設所求橢圓的方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1，則可得a₁=c=2a且橢圓的半焦距c₁=a，由此結合橢圓的離心率公式即可得到本題答案．

解答：解：∵雙曲線的方程是

x2

a2

-

y2

b2

=1，∴它的漸近線方程為y=±

b

a

x
由此可得

b

a

=

3

，可得b=

3

a，c=

a2+b2

=2a
設所求橢圓的方程為

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）
∵橢圓的頂點為雙曲線的焦點，焦點為雙曲線的頂點
∴a₁=c=2a，且橢圓的半焦距c₁=a
因此，該橢圓的離心率e=

c1

a1

=

a

2a

=

1

2

故選：

1

2

點評：本題給出雙曲線的漸近線方程，求與雙曲線頂點焦點互換的橢圓的離心率，著重考查了橢圓、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．