Question

如圖，設A是由n×n個實數組成的n行n列的數表，其中a_u（i，j=1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的實數，且a_u∈{1，-1}．記S（n，n）為所有這樣的數表構成的集合．
對于A∈S（n，n），記r_i（A）為A的第i行各數之積，c_j（A）為A的第j列各數之積．令l（A=

n

i-1

ri（A）+

n

j-1

cj（A））．
（Ⅰ）請寫出一個A∈s（4，4），使得l（A）=0；
（Ⅱ）是否存在A∈S（9，9），使得l（A）=0？說明理由；
（Ⅲ）給定正整數n，對于所有的A∈S（n，n），求l（A）的取值集合．

a11	a12	…	a1n
a21	a22	…	a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

Answer 1

分析：（Ⅰ）可以取第一行都為-1，其余的都取1，即滿足題意；
（Ⅱ）不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．可用反證法證明假設存在，得出矛盾，從而證明結論；
（Ⅲ）通過分析正確得出l（A）的表達式，及從A₀如何得到A₁，…依此類推即可得到A_k．

解答：（Ⅰ）解：答案不唯一，如圖所示數表符合要求．

-1	-1	-1	-1
1	1	1	1
1	1	1	1
1	1	1	1

（Ⅱ）解：不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．                 
證明如下：
假設存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．
因為r_i（A）∈{1，-1}，c_j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，9），
所以r₁（A），…，r₉（A）；c₁（A），…，c₉（A），這18個數中有9個1，9個-1．
令M=r₁（A）•…r₉（A）c₁（A）…c₉（A）．
一方面，由于這18個數中有9個1，9個-1，從而M=-1．  ①
另一方面，r₁（A）•…r₉（A）表示數表中所有元素之積（記這81個實數之積為m）；c₁（A）•…c₉（A）也表示m，從而M=m²=1．             ②
①、②相矛盾，從而不存在A∈S（9，9），使得l（A）=0．        
（Ⅲ）解：記這n²個實數之積為P．
一方面，從“行”的角度看，有P=r₁（A）•r₂（A）…r_n（A）；
另一方面，從“列”的角度看，有P=c₁（A）c₂（A）…c_n（A）．
從而有r₁（A）•r₂（A）…r_n（A）=c₁（A）c₂（A）…c_n（A）．     ③
注意到r_i（A）∈{1，-1}，c_j（A）∈{1，-1}，（i，j=1，2，3，…，n），
下面考慮r₁（A），…，r_n（A）；c₁（A），…，c_n（A），這些數中-1的個數：
由③知，上述2n個實數中，-1的個數一定為偶數，該偶數記為2k（0≤k≤n）；則1的個數為2n-2k，
所以l（A）=（-1）×2k+1×（2n-2k）=2（n-2k）．         
  對數表A₀：a_ij=1，（i，j=1，2，3，…，n），顯然l（A₀）=2n．
將數表A₀中的a₁₁由1變為-1，得到數表A₁，顯然l（A₁）=2n-4．
將數表A₁中的a₂₂由1變為-1，得到數表A₂，顯然l（A₂）=2n-8．
依此類推，將數表A_k-1中的a_kk由1變為-1，得到數表A_k．
即數表A_k滿足：a₁₁=a₂₂=…=a_kk=-1（1≤k≤n），其余a_ij=1．
所以 r₁（A）=r₂（A）=…=r_k（A）=-1，c₁（A）=c₂（A）=…=c_k（A）=-1．
所以l（A_k）=2[（-1）×k+（n-k）]=2n-4k．
由k的任意性知，l（A）的取值集合為{2（n-2k）|k=0，1，2，…n}．

點評：正確理解數表A的結構特點及l（A）的性質是解題的關鍵．注意由特殊到一般的思想方法和反證法的應用．本題需要較強的邏輯推理能力．