Question

設等比數列{a_n}前n項和為S_n，若S₃+S₆=2S₉．
（Ⅰ）求數列的公比q；
（Ⅱ）求證：2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分公比等于1，驗證數列是否成立；公比不等于1，利用前n項和公式求出公比，即可；
（Ⅱ）通過公比，推出=，即可證明數列是等比數列．
解答：解 （Ⅰ）當q=1時，S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁．因為a₁≠0，所以S₃+S₆≠2S₉，由題設q≠1．從而由S₃+S₆=2S₉得，化簡得2q⁹-q⁶-q³=0，
因為q≠0，所以2q⁶-q³-1=0，即（2q³+1）（q³-1）=0．又q≠1，所以，．
（Ⅱ）由得==；
又，所以=，從而2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比數列．
點評：本題是中檔題，考查數列的基本性質，注意等比數列公比的討論，等比數列的證明，考查計算能力，常考題型．