Question

已知橢圓是以二次函數y=-的圖象與x軸的交點為焦點，以該函數圖象的頂點為橢圓的一個頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）橢圓上位于第一象限內的一點P的橫坐標為，，求△PF₁F₂面積．（F₁、F₂分別橢圓的兩個焦點）．

Answer 1

解：（1）由已知：橢圓的焦點在x軸上，
可設為（a＞b＞0）
由x²+2=0可得：x=±4
又∵函數y=x²+2=0的頂點為（0，2）
∴c=4，b=2，∴a²=20
∴橢圓方程為
（2）由x_P=代入（1）中的方程可得：y_P=1（y_P＞0）
又∵|F₁F₂|=2c=8
∴．
分析：（1）設出橢圓的標準方程，利用二次函數的解析式求得其與x軸的交點即橢圓的焦點求得c，利用二次函數圖象的頂點求得橢圓的頂點，求得b，則a可求，橢圓的方程可得．
（2）x_P=代入橢圓的方程，求得其縱坐標，同時利用|F₁F₂|的值，以及三角形面積公式求得答案．
點評：本題主要考查了橢圓的應用和橢圓的標準方程．解題的關鍵是要求考生對橢圓基礎知識的熟練掌握．