Question

數(shù)列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），則稱a_k為{a_n}的一個峰值．
（Ⅰ）若a_n=-|n-7|，則{a_n}的峰值為

0

；
（Ⅱ）若an=

n2-tn，  n≤2 -tn+4，  n＞2

且{a_n}存在峰值，則實數(shù)t的取值范圍是

（0，3）

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)峰值的定義，可得a_n=-|n-7|，求出數(shù)列函數(shù)的單調(diào)性求出最值，從而求解；
（Ⅱ）已知an=

n2-tn，  n≤2 -tn+4，  n＞2

且{a_n}存在峰值，還是求出數(shù)列函數(shù)的單調(diào)性，再進行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}中，如果存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），
則稱a_k為{a_n}的一個峰值，即是數(shù)列中的最大值，
a_n=-|n-7|≤0，最大值就是0，可得n=7時，a_n=0，當n＞7或n＜7都有a_n＜0，
∴{a_n}的峰值為0；
（Ⅱ）當n≤2時，有f（n）=a_n=n²-tn=（n-

t

2

）²-

t2

4

，開口向上，對稱軸為

t

2

，
在n≤

t

2

時，f（n）為增函數(shù)，
當n＞2，g（n）=a_n=-tn+4，是減函數(shù)，但是一個一個的孤立點，
因為{a_n}存在峰值，說明n=2處取得，說明-t必須小于0，可得，
-t＜0，可得t＞0，說明n=2處取得最大值，
n=2，f（2）=4-2t，
根據(jù)峰值的定義可得，

a1＜a2 g(1)＜g(2)

，
可得

1-t＜4-2t -t+4＜-2t+4

，
解得0＜t＜3
故答案為：0，0＜t＜3；

點評：此題是一道新定義題，主要考查數(shù)列的函數(shù)的特性，是一道中檔題，考查的知識點比較全面；