Question

12．已知a＞0，函數f（x）=ax³-3x，g（x）=-$\frac{3}{2}$（a+2）x²+9x-3
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點x=2處的切線方程；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），求函數h（x）的單調增區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（2），f（2）的值，求出切線方程即可；（2）求出h（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）∵a=1，∴f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
∴f′（2）=9，f（2）=2，
∴曲線y=f（x）在點x=2處的切線方程為y-2=9（x-2），即9x-y-16=0；
（2）h（x）=ax³-$\frac{3}{2}$（a+2）x²+6x-3，
h′（x）=3a（x-$\frac{2}{a}$）（x-1），
①若0＜a＜2，則$\frac{2}{a}$＞1；當x＜1或x＞$\frac{2}{a}$時，h′（x）＞0；
∴h（x）的單調增區間是（-∞，1），（$\frac{2}{a}$，+∞）；
②若a=2，則h′（x）=6（x-1）²≥0，
∴h（x）的單調增區間是R；
③若a＞2，則$\frac{2}{a}$＜1，
∴當x＜$\frac{2}{a}$或x＞1時，h′（x）＞0；
∴h（x）的單調增區間是（-∞，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）；      
綜上所述，當0＜a＜2時，h（x）的單調增區間是（-∞，1），（$\frac{2}{a}$，+∞），
當a=2 時，h（x）的單調增區間是R，
當a＞2時，h（x）的單調增區間是（-∞，$\frac{2}{a}$），（1，+∞）．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．