Question

若函數f（x）和g（x）都為奇函數，函數F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上有最大值10，則F（x）在（-∞，0）上有（　　）

A．最小值-10

B．最小值-7

C．最小值-4

D．最大值-10

Answer 1

分析：首先根據f（x）和g（x）都是奇函數，得對任意實數x，都有f（-x）=-f（x）且g（-x）=-g（x）．由函數F（x）在（0，+∞）上有最大值10，可以證得：當x＜0時，F（-x）≤10，再結合f（x）和g（x）為奇函數，整理得af（x）+bg（x）≥-7，可得當x＜0時，F（x）=af（x）+bg（x）+3≥-4．設F（x）=af（x）+bg（x）+3在（0，+∞）上取最大值時的x=x₀，結合結合f（x）和g（x）為奇函數，可以證出當x＜0時，F（x）的最小值為F（-x₀）=-4．從而得出正確答案．

解答：解：∵函數f（x）和g（x）都為奇函數，
∴對任意實數x，都有f（-x）=-f（x）且g（-x）=-g（x）．
當x＞0時，F（x）=af（x）+bg（x）+3的最大值為10，
設F（x）=af（x）+bg（x）+3取最大值時的x=x₀，（x₀是正數）
即對任意的x＞0，均有F（x）≤F（x₀）=10，
∴當x＜0時，F（-x）≤10，即af（-x）+bg（-x）+3≤10
∴af（-x）+bg（-x）≤7，即-af（x）-bg（x）≤7
∴af（x）+bg（x）≥-7，可得F（x）=af（x）+bg（x）+3≥-4
∵F（-x₀）=af（-x₀）+bg（-x₀）+3=-[af（x₀）+bg（x₀）+3]+6，
∴F（-x₀）=-F（x₀）+6=-10+6=-4，
∴F（x）在（-∞，0）上當x=-x₀時，F（x）有最小值為-4．
故選C

點評：本題從一個由兩個奇函數組合而成的函數出發，研究了它的最值問題，著重考查了函數的單調性與奇偶性的綜合和抽象函數處理等知識點，屬于中檔題．