Question

某電視臺舉辦有獎競答活動，活動規則如下：①每人最多答4個小題；②答題過程中，若答對則繼續答題，答錯則停止答題；③答對每個小題可得10分，答錯得0分．甲、乙兩人參加了此次競答活動，且相互之間沒有影響．已知甲答對每個題的概率為，乙答對每個題的概為．
（I）設甲的最后得分為X，求X的分布列和數學期望；
（Ⅱ）求甲、乙最后得分之和為20分的概率．

Answer 1

解：（I）X的可能取值為：0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-=，P（X=10）==，
P（X=20）==，P（X=30）==，
P（X=40）==，故X的分布列如下：

X	0	10	20	30	40
P

故所求的數學期望EX==；
（Ⅱ）設“甲、乙最后得分之和為20分”為事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”為事件B，
“甲恰好得10分且乙恰好得10分”為事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”為事件D，
則事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，
又P（B）==，P（C）==，P（D）==，
故P（A）=P（B+C+D）==
分析：（I）X的可能取值為：0，10，20，30，40，分別求得各自對應的概率，可得分布列，進而可得的期望；（Ⅱ）設“甲、乙最后得分之和為20分”為事件A，“甲恰好得0分且乙恰好得20分”為事件B，“甲恰好得10分且乙恰好得10分”為事件C，“甲恰好得20分且乙恰好得0分”為事件D，可得事件B、C、D互斥，且A=B+C+D，分別求得概率，由概率的加法公式可得答案．
點評：本題考查離散型隨機變量及其分布列，涉及互斥事件的應用，屬中檔題．