Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小．

Answer 1

分析：方法一（綜合法）
（Ⅰ）取OB中點E，連接ME，NE．利用三角形的中位線定理和菱形的性質可得ME∥CD，NE∥OC，利用面面平行的判定定理得到平面MNE∥平面OCD，進而得到MN∥平面OCD．
（Ⅱ）由于CD∥AB，可得∠MDC或其補角為異面直線AB與MD所成的角．作AP⊥CD于P，連接MP，在△MDP 中求出即可．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO，所在直線為x，y，z軸建立坐標系．
（I）利用MN與平面OCD的法向量垂直即可證明．
（II）利用向量的夾角公式即可得出．

解答：方法一（綜合法）
（Ⅰ）取OB中點E，連接ME，NE．
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD．
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD．
（Ⅱ）∵CD∥AB，
∴∠MDC或其補角為異面直線AB與MD所成的角．
作AP⊥CD于P，連接MP，
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP，
∵∠ADP=

π

4

，∴DP=

2

2

，MD=

MA2+AD2

=

2

，
∴cos∠MDP=

DP

MD

=

1

2

，∠MDC=∠MDP=

π

3

．
∴AB與MD所成角的大小為

π

3

．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO，所在直線為x，y，z軸建立坐標系．
A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，

2

2

，0)，D(-

2

2

，

2

2

，0)，O(0，0，2)M(0，0，1)，N(1-

2

4

，

2

4

，0)，
（Ⅰ）

MN

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)，

OP

=(0，

2

2

，-2)，

OD

=(-

2

2

，

2

2

，-2)
設平面OCD的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

OP

=0，

n

•

OD

=0
即 

2 2 y-2z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-2z=0

，取z=

2

，解得

n

=(0，4，

2

)，
∵

MN

•

n

=(1-

2

4

，

2

4

，-1)•(0，4，

2

)=0．
∴MN∥平面OCD．
（Ⅱ）設AB與MD所成的角為θ，
∵

AB

=(1，0，0)，

MD

=(-

2

2

，

2

2

，-1)，
∴cosθ=

| AB • MD |

| AB |•| MD |

=

1

2

，
∴θ=

π

3

，即AB與MD所成角的大小為

π

3

．

點評：本題考查了利用綜合法或向量法證明線面平行和異面直線所成的夾角，考查了三角形的中位線定理和菱形的性質、面面平行的判定定理、線面平行的判定定理、異面直線所成的角、線面平行于法向量的關系、向量的夾角公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．