Question

已知數列｛a_n｝滿足：a₁=，且a_n=（n≥2，n∈N*）。
(1)求數列｛a_n｝的通項公式；
(2)證明：對于一切正整數n，不等式a₁·a₂·……a_n＜2·n！。

Answer 1

（1）解：將條件變為：，
因此｛1-｝為一個等比數列，其首項為，公比為，
從而，據此得a_n=（n≥1）。
（2）證明：據1°得，
a₁·a₂·…a_n=，
為證a₁·a₂·……a_n<2·n！，
只要證n∈N*時，有，…………2°
顯然，左端每個因式都是正數，
先證明，對每個n∈N*，有，…………3°
用數學歸納法證明3°式：
(ⅰ)n=1時，3°式顯然成立，
(ⅱ)設n=k時，3°式成立，
即，
則當n=k+1時，
 
 

，
即當n=k+1時，3°式也成立。
故對一切n∈N*，3°式都成立。
利用3°得，


，
故2°式成立，從而結論成立。