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已知向量
a
=(cosθ ， sinθ)，
b
=(
3
 ， 1)．
（1）當
a
⊥
b
時，求tan2θ；
（2）若θ∈[0，
π
2
]，求|
a
+
b
|的范圍．
分析：（1）利用向量垂直的充要條件及向量的數量積公式列出方程，通過三角函數的商數關系求出正切值，利用二倍角的正切公式求出tan2θ值．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方再利用向量的數量積公式將|
a
+
b
|用三角函數表示；利用三角函數中的公式
asinx+bcosx= 
a2+b2
 sin(x+θ)化簡三角函數，利用三角函數的有界性求出范圍．
解答：解：（1）
a
⊥
b
?
a
•
b
=
3
cosθ+sinθ=0?tanθ=-
3
，
故tan2θ=
2tanθ
1-tan2θ
=
2×(-
3
)
1-(-
3
)2
=
3
；
（2）因為|
a
+
b
|=
|
a
|2+2
a
•
b
+|
b
|2
=
1+2(
3
cosθ+sinθ)+4
=
5+4sin(θ+
π
3
)
，
∵θ∈[0，
π
2
]，∴sin(θ+
π
3
)∈[
1
2
，1]
故(|
a
+
b
|)∈[
7
，3]．
點評：本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、三角函數的二倍角公式、三角函數的有界性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數y=f（x）的圖象經過點(
π
4
，0)，求函數y=f（x）在區間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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