（福建卷文20）已知｛an｝是正數組成的數列，a1=1，且點（
）（n
N*）在函數y=x2+1的圖象上.
(Ⅰ)求數列｛an｝的通項公式；
(Ⅱ)若列數｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+
，求證：bn ·bn+2＜b2n+1.
本小題考查等差數列、等比數列等基本知識，考查轉化與化歸思想，推理與運算能力.
解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以數列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1＝
=2n-1.
因為bn·bn+2-b
=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因為b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+2<b2n+1
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
（福建卷文20）已知｛an｝是正數組成的數列，a1=1，且點（
）（n
N*）在函數y=x2+1的圖象上.
(Ⅰ)求數列｛an｝的通項公式；
(Ⅱ)若列數｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+
，求證：bn ·bn+2＜b2n+1.
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