Question

（2012•藍山縣模擬）如圖，簡單組合體ABCDPE，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC．
（1）若N為線段PB的中點，求證：EN⊥平面PDB；
（2）若

PD

AD

=

2

，求平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）連接AC與BD交于點F，連接NF，由F為BD的中點，知NF∥PD且NF=

1

2

PD．由EC∥PD，且EC=

1

2

PD，知四邊形NFCE為平行四邊形，由此能證明NE⊥面PDB．
（2）連接DN，由（1）知NE⊥面PDB，DN⊥NE． 延長PE與DC的延長線交于點G，連接GB，則GB為平面PBE與平面ABCD的交線．由PD=2EC，知CD=CG=CB，知D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，DB⊥BG，由此能夠求出平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的大小．

解答：（1）證明：連接AC與BD交于點F，連接NF，
∵F為BD的中點，∴NF∥PD且NF=

1

2

PD．
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，（2分）
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四邊形NFCE為平行四邊形，
∴NE∥FC．（4分）
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD．
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB．（6分）
（2）解：連接DN，由（1）知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE． 
延長PE與DC的延長線交于點G，連接GB，
則GB為平面PBE與平面ABCD的交線．（8分）
∵PD=2EC，∴CD=CG=CB，
∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，
∴DB⊥BG．（9分）
∵PD⊥平面ABCD，BG?面ABCD，
∴PD⊥BG，且PD∩DB=D，∴BG⊥面PDB．
∵PB?面PDB，∴BG⊥PB，
∴∠PBD為平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的平面角．（10分）
在Rt△PDB中，∵PD=DB，
∴∠PBD=45°，
即平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角為45°．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成的銳二面角大小的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．