Question

已知△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列，且a=2c=2．
（1）求

sinA+sinC

a+c

的值；
（2）求函數f(x)=

3

sin(x+B)-cos(x+B)在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由A，B，C成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，求出B的度數，利用余弦定理列出關系式，將a，c及cosB的值代入求出b的值，確定出三角形ABC中A與C的度數，代入原式計算即可得到結果；
（2）f（x）解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，將B的值代入，利用正弦函數的增減性即可確定出f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵A，B，C成等差數列，∴2B=A+C，即B=60°，
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=1+4-2=3，即b=

3

，
∴△ABC是直角三角形，且A=90°，C=30°，
∴原式=

sin90°+sin30°

2+1

=

1

2

；
（2）函數f（x）=

3

sin（x+B）-cos（x+B）=2sin（x+B-

π

6

）=2sin（x+

π

6

），
∵函數f（x）=2sin（x+

π

6

）在[0，

π

4

]上是增函數，
∴函數f（x）的最大值為f（

π

4

）=2sin（

π

4

+

π

6

）=

6 + 2

2

．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．