Question

設橢圓M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經過點P(1，

2

)，其離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ） 直線l：y=

2

x+m交橢圓于A、B兩點，且△PAB的面積為

2

，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由經過點P，得

2 2

a2

+

12

b2

=1，由離心率為

2

2

得

c

a

=

2

2

，再根據a²=b²+c²聯立解方程組即可；
（Ⅱ）聯立直線方程與橢圓方程消y，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，易知判別式△＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦長公式及點到直線的距離公式可表示出△PAB的面積，令其為

2

，即可解出m值，驗證是否滿足△＞0．

解答：解：（Ⅰ）由已知，得

( 2 )2 a2 + 12 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 2 2

，解得

a=2 c= 2 b= 2

，
故所求橢圓M的方程為

y2

4

+

x2

2

=1．
（Ⅱ）由

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=(2

2

m)2-16(m2-4)＞0，解得-2

2

＜m＜2

2

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

，
所以|AB|=

1+2

|x₁-x₂|=

3

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

•

1 2 m2-m2+4

=

3

•

4- m2 2

，
又P到AB的距離為d=

|m|

3

，
則S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

1

2

3

•

4- m2 2

•

|m|

3

=

1

2

m2(4- m2 2 )

=

1

2 2

m2(8-m2)

，
所以

1

2 2

m2(8-m2)

=

2

，m⁴-8m²+16=0，解得m=±2，
顯然±2∈(-2

2

，2

2

)，故m=±2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓標準方程的求解，考查弦長公式及點到直線的距離公式，熟記相關公式是解決該類問題的基礎．