Question

若隨機事件A在1次試驗中發生的概率為p（0＜p＜1），用隨機變量ξ表示A在1次試驗中發生的次數．
（1）求方差Dξ的最大值；
（2）求

2Dξ-1

Eξ

的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意ξ服從兩點分布，Dξ=p-p²，（0＜p＜1），轉化為二次函數求最值．
（2）將Eξ和Dξ代入，利用基本不等式求最值．

解答：解：隨機變量ξ的所有可能取值為0，1，并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
從而Eξ=0×（1-p）+1×p=p，Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p=p-p²，
（1）Dξ=p-p2=-(p2-p+

1

4

)+

1

4

=-(p-

1

2

)2+

1

4

，
因為0＜P＜1，所以當p=

1

2

時，Dξ取得最大值，最大值為

1

4

．
（2）

2Dξ-1

Eξ

=

2(p-p2)-1

p

=2-(2p+

1

p

)，因為0＜P＜1，所以2p+

1

p

≥2

2

．
當2p=

1

p

，即p=

2

2

時，取“=”．
因此，當p=

2

2

時，

2Dξ-1

Eξ

取得最大值2-2

2

．

點評：本題考查兩點分布的期望和方差，及函數的最值問題，本題將概率知識與函數知識很好的結合，難度不大．