Question

設定義域為R的函數f（x）滿足下列條件：①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②對任意x₁，x₂∈[1，a]，當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．則下列不等式不一定成立的是（ ）
A．f（a）＞f（0）
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題中的2個條件可以判斷函數f（x）是奇函數，且在[1，a]上是個增函數，所以，要比較2個函數值的大小，
要看自變量的范圍，再利用函數的單調性得出結論．
解答：解：∵①對任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，∴函數f（x）是奇函數，
∵②對任意x₁，x₂∈[1，a]，當x₂＞x₁時，有f（x₂）＞f（x₁）＞0，
∴函數f（x）在區間[1，a]上是單調增函數．
∵a＞1，故選項A、f（a）＞f（0）一定成立．
∵＞，故選項B、f（）＞f（a）一定成立．
∵-（-a）=＞0，∴＞-a，∴a＞=3-≥1，
∴f（a）＞f（），兩邊同時乘以-1可得-f（a）＜-f（），即f（）＞f（-a），
故選項D一定成立．
-（-3）=＞0，∴＞-3，∴3＞＞0，但不能確定3和 是否在區間[1，a]上，
故f（3）和f（）的大小關系不確定，故f（） 與f（-3）的大小關系不確定，故C不一定正確．
故答案選  C．
點評：本題考查抽象函數及其應用，從條件判斷函數的奇偶性和單調性，依據單調性分析各選項是否一定成立，屬于中檔題．