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是否存在a、b、c使得等式1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

（an²+bn+c）．

假設存在a、b、c使題設的等式成立，
這時令n=1，2，3，有

(a+b+c)

22=

(4a+2b+c)

70=9a+3b+c

解得：

a=3

b=11

c=10

．
于是，對n=1，2，3下面等式成立
1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

(3n2+11n+10)
記S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²
證明：①由前面可知，當n=1時，等式成立，
②設n=k時上式成立，即S_k=

k(k+1)

（3k²+11k+10）
那么S_k+1=S_k+（k+1）（k+2）²=

k(k+1)

（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²
=

(k+1)(k+2)

（3k²+5k+12k+24）
=

(k+1)(k+2)

[3（k+1）²+11（k+1）+10]
也就是說，等式對n=k+1也成立．
綜上所述，當a=3，b=11，c=10時，題設對一切自然數n均成立．

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已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
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[f(x1)+f(x2)]成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件①對?x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對?x∈R，都有0≤f(x)-x≤

(x-1)2．若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②對任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤

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已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對x₁x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），證明方程f（x）=

[f(x1)+f(x2)]必有一個實數根屬于（x₁，x₂）．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件
①當x=-1時，函數f（x）有最小值0；
②對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2

若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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已知二次函數f（x）=ax²+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）（a＞0），試證明：

[f（x₁）+f（x₂）]＞f（

x1+x2

）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤

(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點的個數；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（-1+x）=f（-1-x），且f（x）≥0；
②對任意x∈R，都有0≤f（x）-x≤

（x-1）²．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請說明理由．
（3）若對任意x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），試證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f（x₀）=

[f（x₁）+f（x₂）]成立．

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