Question

定義在R上的函數y=f（x），滿足f（1-x）=f（x），（x-

1

2

）f′（x）＞0，若x₁＜x₂且x₁+x₂＞1，則有（　　）

A．f（x₁）＜f（x₂）

B．f（x₁）＞f（x₂）

C．f（x₁）=f（x₂）

D．不能確定

Answer 1

分析：由題意可得函數f（x）關于直線x=

1

2

對稱，且當x＞

1

2

時，f′（x）＞0；當x＜

1

2

時，f′（x）＜0，即可得出函數f（x）在區間上單調性．分類討論x2＞x1≥

1

2

，與x1＜

1

2

，即可得出．

解答：解：∵定義在R上的函數y=f（x），滿足f（1-x）=f（x），∴函數f（x）關于直線x=

1

2

對稱．
∵（x-

1

2

）f′（x）＞0，∴當x＞

1

2

時，f′（x）＞0，函數f（x）在此區間上單調遞增；當x＜

1

2

時，f′（x）＜0，函數f（x）在此區間上單調遞減．
①若x2＞x1≥

1

2

，∵函數f（x）在區間(

1

2

，+∞)上單調遞增，∴f（x₂）＞f（x₁）．
②若x1＜

1

2

，又x₁+x₂＞1，∴x2＞1-x1＞

1

2

，∴f（x₂）＞f（1-x₁）=f（x₁）．
綜上可知：f（x₂）＞f（x₁）．
故選A．

點評：熟練掌握函數的軸對稱性和利用導數研究函數的單調性是解題的關鍵．