Question

（2012•江蘇二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，若2

MA

•

MF

+

BF

2≥0，則該橢圓離心率的取值范圍為

（0，-1+

3

]

．

Answer 1

分析：將向量用坐標(biāo)表示，利用數(shù)量積公式，可得關(guān)于e的不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意，A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0），則M（-

a

2

，

b

2

）
∵2

MA

•

MF

+

BF

2≥0
∴

BA

•

MF

+

BF

2≥0
∴(-a，-b)•(c+

a

2

，-

b

2

)+b2+c2≥0
∴-ac-

a2

2

+

a2-c2

2

+a2≥0
∴e²+2e-2≤0
∴-1-

3

≤e≤-1+

3

∵e＞0
∴0＜e≤-1+

3

故答案為：（0，-1+

3

]

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．