Question

側棱垂直底面的棱柱叫直棱柱．已知底面是菱形的直棱柱，它的體對角線分別為9和15，高是5，求這個棱柱的側面積．

Answer 1

【答案】分析：根據直棱柱的性質，結合線面垂直的性質算出底面菱形的兩條對角線分別為AC=10，BD=2，再由菱形的性質算出底面邊長為直角邊分別是AC和BD的斜邊，利用勾股定理算出底面邊長為8，由此即可得出這個棱柱的側面積．
解答：解：如圖，底面是菱形的直棱柱ABCD-A'B'C'D'中，
兩條對角線長為A'C=15cm，BD'=9cm，側棱長為AA'=DD'=5cm，
∵△BDD'和△ACA'都是直角三角形，
∴由勾股定理，得AC²=15²-5²=200，BD²=9²-5²=56，
可得AC==10，BD==2
∵AC、BD分別是菱形ABCD的兩條對角線，
∴AC、BD互相垂直平分，把菱形分成全等的四個直角三角形，
兩條直角邊分別是AC=5和BD=，
由勾股定理，得斜邊長AB==8．
∴該棱柱的側面積S=4×8×5=160．
點評：本題給出底面為菱形的直棱柱，在已知對角線長和高的情況下求側面積，著重考查了線面垂直的性質、直棱柱的結構和菱形的性質等知識，屬于基礎題．