Question

已知f（x）=x²-2ax+5（a＞1）
（Ⅰ）若f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在區間（-∞，2]上是減函數，且對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）的對稱軸是x=a知函數在[1，a]遞減，列出方程組即可求得a值；
（II）先由f（x）在區間（-∞，2]上是減函數得a≥2，當f（x₁）、f（x₂）分別是函數f（x）的最小值與最大值時不等式恒成立．從而函數在區間[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a²得出函數的最大值是f（1）最后結合|f（x₁）-f（x₂）|≤4知（6-2a）-（5-a²）≤4，解得a的取值范圍即可．

解答：解：f（x）=（x-a）²+5-a²
（I）．由f（x）的對稱軸是x=a知函數在[1，a]遞減，
故

f(1)=a f(a)=1

，解可得a=2
（II）由f（x）在區間（-∞，2]上是減函數得a≥2，
當f（x₁）、f（x₂）分別是函數f（x）的最小值與最大值時不等式恒成立．
故函數在區間[1，a+1]上的最小值是f（a）=5-a²，
又因為a-1≥（a+1）-a，所以函數的最大值是f（1）=6-2a，
由|f（x₁）-f（x₂）|≤4知（6-2a）-（5-a²）≤4，解得2≤a≤3．

點評：此題主要考查絕對值不等式的應用問題．涉及到絕對值不等式的應用．對于此類型的題目需要對題目概念做認真分析再做題．屬于中檔題目．