Question

25、已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F，G分別是AB，BC，B₁C₁的中點．下列命題正確的是

②③④

（寫出所有正確命題的編號）．
①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面最多只有三個面是直角三角形；
②P在直線FG上運動時，AP⊥DE；
③Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁QC的體積不變；
④M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內到點D和 C₁距離相等的點，則M點的軌跡是一條線段．

Answer 1

分析：畫出正方體圖形，
①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面最多只有三個面是直角三角形；作出反例否定①；
②P在直線FG上運動時，AP⊥DE；如圖（2）DE⊥平面FGP，可得結論；
③Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁QC的體積不變；如圖（2）三角形AD1Q面積不變，C到平面距離不變，體積為定值．

解答：解：畫出圖形，如圖（1）四個面都是直角三角形，①不正確．
②P在直線FG上運動時，AP⊥DE；如圖（2）DE⊥平面FGP，可得結論；正確．
③Q在直線BC₁上運動時，三棱錐A-D₁QC的體積不變；如圖（2）三角形AD1Q面積不變，
C到平面距離不變，體積為定值．
④M是正方體的面A₁B₁C₁D₁內到點D和 C₁距離相等的點，則M點的軌跡是一條線段．線段A₁D₁滿足題意．
故答案為：②③④．

點評：本題考查棱錐的結構特征，四種命題的真假關系，軌跡方程，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是基礎題．