Question

給出定義：若m-

1

2

≤x＜m+

1

2

（其中m為整數），則m叫離實數x最近的整數，記作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四個命題：
①函數f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；   ②函數f（x）是R上的增函數；
③函數f（x）是周期函數，最小正周期為1；    ④函數f（x）是偶函數，
其中正確的命題是

①③④

．

Answer 1

分析：根據讓函數解析式有意義的原則確定函數的定義域，然后根據解析式易用分析法求出函數的值域；通過取特值的辦法可判斷②錯誤；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；通過判斷f（-x）是否等于f（x），來判斷④函數的奇偶性．

解答：解：①中，令x=m+a，a∈[-

1

2

，

1

2

）
∴f（x）=|[x]-x|=|m-（m+a）|=|a|∈[0，

1

2

]，
所以①正確；
②中，∵

1

4

∈[-

1

2

，

1

2

），-

1

4

∈[-

1

2

，

1

2

），且[

1

4

]=0，[-

1

4

]=-1
f（-

1

4

）=|[-

1

4

]+

1

4

|=

3

4

，f（

1

4

）=|[

1

4

]-

1

4

|=

1

4

，
不滿足區間[-

1

2

，

1

2

）上單調遞增，故②錯誤；
③中，∵f（x+1）=|[x+1]-（x+1）|=|[x]-x|=f（x）
所以周期為1，故③正確；
∵m-

1

2

≤x＜m+

1

2

（m∈Z），
∴-m-

1

2

＜-x≤-m+

1

2

（m∈Z）
∴f（-x）=|[-x]-（-x）|=|（-m）+x|=|x-m|，f（x）=|[x]-x|=|m-x|
∴f（-x）=f（x）
∴④正確
綜上所述，①③④正確．
故答案為①③④．

點評：本題考查函數的周期性，我們要根據定義中給出的函數，結合求定義域、值域的方法，周期性和單調性的證明方法，對4個結論進行驗證，屬于難題．