Question

已知函數f（x）=ln（e^x+1）-ax（a∈R）．
①若曲線y=f（x）在x=0處與直線x+y=b相切，求a，b的值；
②設x∈[-ln2，0]時，f（x）在x=0處取得最大值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：①求出f（x）的導函數，由題意把x=0代入導函數中即可求出a的值，把x=0代入函數f（x）中即可求出b的值；
②分a≤0，a≥1，及0＜a＜1三種情況考慮導函數的正負，確定函數的單調性，由f（x）在x=0處取得最大值，找出滿足題意的a范圍，當a≤0時，得到導函數f′（x）＞0，函數在[-ln2，0]上單調遞增，故x=0處取得最大值，滿足題意；當a≥1時，得到導函數f′（x）＜0，函數在[-ln2，0]上單調遞減，不在x=0處取得最大值，不滿足題意；當0＜a＜1時，根據導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的單調性求出函數取得最大值時x的值，從而求出此時a的范圍，綜上，得到滿足題意a的范圍．

解答：解：①∵f（x）=ln（e^x+1）-ax，∴f′（x）=

ex

ex+1

-a，
依題意，曲線y=f（x）與直線x+y=b相切于（0，b），
所以f′（0）=

1

2

-a=-1，b=f（0）=ln2，
∴a=

3

2

，b=ln2；
②當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在[-ln2，0]上單調遞增，在x=0處取得最大值；
當a≥1時，f′（x）＜0，f（x）在[-ln2，0]上單調遞減，不在x=0處取得最大值；
當0＜a＜1時，f′（x）＞0，得x＞ln

a

1-a

；f′（x）＜0，得x＜ln

a

1-a

，
所以f（x）在（-∞，ln

a

1-a

）單調遞減，在（ln

a

1-a

，+∞）單調遞增．
此時f（x）在x=0或x=-ln2處取得最大值，
所以當且僅當f（0）≥f（-ln2），
即ln2≥ln

3

2

+aln2時，f（x）在x=0處取得最大值，
此時解得0＜a≤2-log₂3．
綜上，a的取值范圍是（-∞，2-log₂3]．

點評：此題考查了利用導數研究曲線上過某點切線方程的斜率，利用導數求閉區間上函數的最值，要求學生會根據導函數的正負確定函數的單調區間，由函數的單調性求出函數的最值．