Question

已知函數f（x）=a^x+b，（a＞0，a≠1）．
（1）若f（x）的圖象如圖（1）所示，求a，b的值；
（2）若f（x）的圖象如圖（2）所示，求a，b的取值范圍．
（3）在（1）中，若|f（x）|=m有且僅有一個實數解，求出m的范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）的圖象過點（2，0），（0，-2），
所以，
解得； …（4分）
（2）f（x）單調遞減，所以0＜a＜1，又f（0）＜0，
即a⁰+b＜0，所以b＜-1． …（9分）
（3）由（1）得：函數f（x）=（）^x-3，
在同一個坐標系中，畫出函數y=|f（x）|和y=m的圖象，
觀察圖象可知，當m=0或m≥3時，兩圖象有一個交點，
若|f（x）|=m有且僅有一個實數解，m的范圍是：m=0或m≥3…（14分）
分析：（1）由圖象知，f（0）=-2，f（2）=0 解方程組求出a 和 b的值．
（2）f（x）單調遞減，結合指數函數的性質得出0＜a＜1，又f（0）＜0，從而求出b的取值范圍．
（3）由（1）得：函數f（x）=（）^x-3，在同一個坐標系中，畫出函數y=|f（x）|和y=m的圖象，觀察圖象可知，當m=0或m≥3時，兩圖象有一個交點，從而得出m的范圍．
點評：本題考查用待定系數法求函數解析式，體現了數形結合的數學思想．解答的關鍵是利用待定系數法列出方程或不等式求得a，b的值或范圍．