Question

已知函數 f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．若對任意的實數x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，則實數k的取值范圍是

-

1

2

≤k≤4

．

Answer 1

分析：函數 f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

的解析式可化為f（x）=

2x+k+ 1 2x

2x+1+ 1 2x

，令t=2x+1+

1

2x

，（t≥3），則f（x）=y=1+

k-1

t

，結合反比例函數的單調性，分類討論函數的單調性，并分析出函數的值域，構造關于k的不等式，求出各種情況下實數k的取值范圍，最后綜合討論結果，可得實數k的取值范圍．

解答：解：∵函數 f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=

2x+k+ 1 2x

2x+1+ 1 2x

令t=2x+1+

1

2x

，（t≥3）
則f（x）=y=1+

k-1

t

若k-1＜0，即k＜1，函數y=1+

k-1

t

在[3，+∞）上為增函數
此時的函數f（x）=y值域為[1+

k-1

3

，1）
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則2（1+

k-1

3

）≥1，就可以滿足條件
解得-

1

2

≤k＜1
若k-1=0，即k=1，
f（x）=1，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）顯然成立
若k-1＞0，即k＞1
函數y=1+

k-1

t

在[3，+∞）上為減函數
此時的函數f（x）=y值域為（1，1+

k-1

3

]
若不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立
則1+1≥1+

k-1

3

，
解得1＜k≤4
綜上所述：-

1

2

≤k≤4
故答案為：-

1

2

≤k≤4

點評：本題考查的知識點是函數恒成立問題，指數函數的性質，反比例函數的圖象和性質，其中利用換元思想及基本不等式將函數的解析式化為f（x）=y=1+

k-1

t

，是解答的關鍵．