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已知橢圓()的短軸長為2，離心率為．過點M（2,0）的直線與橢圓相交于、兩點,為坐標原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若點關于軸的對稱點是，證明：直線恒過一定點.
（1）.（2）.（3）直線過定點.

試題分析：（1）由已知得,得.
（2）設：，與橢圓的方程聯立,消去得
.由△＞0得.
設,則.
將
表示成為
由，求得范圍是.
（3）由對稱性可知N，定點在軸上.
在直線方程AN：中，令得:
,得證.
試題解析：（1）易知，得,故.
故方程為.（3分）
（2）設：，與橢圓的方程聯立,消去得
.由△＞0得.
設,則.
∴
=
，∴，
故所求范圍是.（8分）
（3）由對稱性可知N，定點在軸上.
直線AN：，令得:
,
∴直線過定點.（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知動圓與圓相切，且與圓相內切，記圓心的軌跡為曲線；設為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.
（1）求曲線的方程；
（2）試探究和的比值能否為一個常數？若能，求出這個常數，若不能，請說明理由；
（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面上的動點P（x，y）及兩個定點A（-2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別為K1，K2且K1K2=－
(1).求動點P的軌跡C方程；
(2).設直線L：y=kx+m與曲線C交于不同兩點，M，N，當OM⊥ON時，求O點到直線L的距離（O為坐標原點）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓經過點，其左、右頂點分別是、，左、右焦點分別是、，（異于、）是橢圓上的動點，連接交直線于、兩點,若成等比數列.

（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線段為直徑的圓過點.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的長軸在軸上，焦距為，則等于 （   ）
A．B．C．D．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓的焦點為,點在橢圓上，如果線段的中點在軸上，那么是的（   ）
A．倍B．倍C．倍D．倍

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線C的焦點、實軸端點恰好是橢圓的長軸的端點、焦點，則雙曲線C的方程為_______.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓的中心在原點、焦點在軸上，拋物線的頂點在原點、焦點在軸上.小明從曲線、上各取若干個點（每條曲線上至少取兩個點），并記錄其坐標（.由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓上，也不在拋物線上，小明的記錄如下：














據此，可推斷橢圓的方程為            

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點F(1，0)，E是圓C上的一個動點，EF的垂直平分線PQ與CE交于點B，與EF交于點D.

(1)求點B的軌跡方程；
(2)當點D位于y軸的正半軸上時，求直線PQ的方程；
(3)若G是圓C上的另一個動點，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點為M，試判斷線段OM的長度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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