Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（I）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（II）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解x₁，x₂，求k的取值范圍，并證明

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)k=2時(shí)，方程是含有絕對(duì)值的方程，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的值進(jìn)行分類討論去掉絕對(duì)值后解之；
（2）先將含有絕對(duì)值的函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元一次函數(shù)和二元一次函數(shù)的分段函數(shù)的形式，再利用一元一次函數(shù)與二元
一次函數(shù)的單調(diào)性加以解決．

解答：解：（Ⅰ）解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=|x²-1|+x²+kx
①當(dāng)x²-1≥0時(shí)，即x≥1或x≤-1時(shí)，方程化為2x²+2x-1=0
解得x=

-1± 3

2

，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">0＜

-1+ 3

2

＜1，故舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②當(dāng)x²-1＜0時(shí)，-1＜x＜1時(shí)，方程化為2x+1=0
解得x=-

1

2

由①②得當(dāng)k=2時(shí)，方程f（x）=0的解所以x=

-1- 3

2

或x=-

1

2

．
（II）解：不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f(x)=

2x2+kx-1，|x|＞1 kx+1，|x|≤1

所以f（x）在（0，1]是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=0在（0，1]上至多一個(gè)解，
若1＜x₁＜x₂＜2，則x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符題意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1；
故當(dāng)-

7

2

＜k＜-1時(shí)，方程f（x）=0在（0，2）上有兩個(gè)解．
當(dāng)0＜x₁≤1＜x₂＜2時(shí)，k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即

1

x1

+

1

x2

=2x2，因?yàn)閤₂＜2，所以

1

x1

+

1

x2

＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的高考考點(diǎn)：函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；易錯(cuò)點(diǎn)：解析問題的能力較差，分類討論的問題考慮不全面?zhèn)淇继崾荆罕绢}還考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、分類討論等思想方法解析和解決問題的能力．需要考生有較扎實(shí)的理論知識(shí)及較強(qiáng)的解析問題的能力，同時(shí)要具備良好的運(yùn)算能力．