Question

如圖，為圓的直徑，點(diǎn)、在圓上，，矩形所在的平面與圓所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；
（Ⅲ）當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的大小為？

Answer 1

（Ⅰ）如下（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（I）證明：平面平面,,

平面平面=，
平面．
平面，，
又為圓的直徑，，
平面．          
平面，平面平面．
（II）根據(jù)（Ⅰ）的證明，有平面，
為在平面內(nèi)的射影,
因此，為直線與平面所成的角
，四邊形為等腰梯形，
過(guò)點(diǎn)作，交于．,，則．
在中，根據(jù)射影定理，得．     
，． 與平面所成角的大小為
（Ⅲ）設(shè)中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、方向分別為軸、軸、 軸方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為則,又
     
設(shè)平面的法向量為，則,．
即    令，解得，
由（I）可知平面，取平面的一個(gè)法向量為，依題意 與的夾角為
，即，解得
因此，當(dāng)的長(zhǎng)為時(shí)，平面與平面所成的銳二面角的大小為．
點(diǎn)評(píng)：直線與平面平行、垂直的判定定理是常考知識(shí)點(diǎn)。另求二面角時(shí)，一般是結(jié)合向量來(lái)求解。