Question

19．設p：關于x的不等式x+$\frac{1}{x}$≥a²-a對任意的x∈（0，+∞）恒成立；q：關于x的方程x+|x-1|=2a有實數解．若p∧q為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出使命題p，q為真命題的實數a的取值范圍，再由p∧q為真，等價于p和q都為真，求出交集可得答案．

解答 解：對于p，當x∈（0，+∞）時，$x+\frac{1}{x}≥2$，當且僅當x=1時取等號，…（2分）
所以2≥a²-a，得-1≤a≤2． …（4分）
對于q，由$2a=x+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}2x-1，x≥1\\ 1，\begin{array}{\;}x＜1\end{array}\right.\end{array}\right.$，
函數$y=\left\{\begin{array}{l}2x-1，x≥1\\ 1，\begin{array}{\;}x＜1\end{array}\right.\end{array}\right.$的值域是[1，+∞），…（6分）
所以2a≥1，得$a≥\frac{1}{2}$． …（8分）
因為p∧q為真，等價于p和q都為真．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{-1≤a≤2}\end{array}}\right.$，得 $\frac{1}{2}≤a≤2$…（10分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了恒成立問題和存在性問題，難度中檔．