Question

如圖，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC邊上的高分別為BD、AE，垂足分別是D、E，則以A、B為焦點且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率分別為e₁、e₂，則

1

e1

+

1

e2

的值為（　　）

• A、1
• B、

  3

• C、2
• D、2

  3

Answer 1

分析：根據題意設出AB，進而根據橢圓的定義可求得a和c的關系式，求得橢圓的離心率；利用雙曲線的性質，求得a和c關系，求得雙曲線的離心率，然后求得二者離心率倒數和．

解答：解：設|AB|=2c，則在橢圓中，有c+

3

c=2a，
∴

1

e1

=

a

c

=

1+ 3

2

，
而在雙曲線中，有

3

c-c=2a，
∴

1

e2

=

a

c

=

3 -1

2

，
∴

1

e1

+

1

e2

=

1+ 3

2

+

3 -1

2

=

3

．
故選B．

點評：本題給出橢圓、雙曲線滿足的條件，求它們的離心率之和．著重考查了解直角三角形、橢圓和雙曲線的定義與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．