Question

已知函數f（x）=sinx+

3

cosx，x∈[0，π]．
（1）求f（x）的最大值，并指出取得該最大值時x的值；
（2）求f（x）的單調減區間．

Answer 1

分析：（1）函數解析式提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域確定出最大值，以及x的值即可；
（2）根據正弦函數的減區間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可確定出f（x）的單調減區間．

解答：解：（1）f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），
∵x∈（0，π），∴x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
則f（x）的最大值為2，
由x+

π

3

=

π

2

，解得x=

π

6

，
則取最大值時的x=

π

6

；
（2）由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：2kπ+

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

，k∈Z，
又x∈[0，π]，
∴f（x）的單調減區間為[

π

6

，π]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．