Question

(本小題滿分14分) 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當x=2時，求證：BD⊥EG ；

(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；

(3) 當 f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.

Answer 1

（本小題滿分14分）

解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標系E-xyz。…………………………………………… 1分

則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）…………2分

（－2，2，2），（2，2，0）…………………………………………………3分

（－2，2，2）·（2，2，0）＝0，∴ ……………………………4分

（法二）作DH⊥EF于H，連BH，GH，……………1分

由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。

又四邊形BGHE為正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，………………… 3分

而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。………………… 4分

（或者直接利用三垂線定理得出結果）

（2）∵AD∥面BFC，

所以 V_A-BFC＝＝··4·(4-x)·x

………………………………………………………………………7分

即時有最大值為。…………………………………………………………8分

（3）（法一）設平面DBF的法向量為，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）, ………………………………9分

則 ，

即，

取x＝3，則y＝2，z＝1，∴ 

 面BCF的一個法向量為         ……………………………12分

則cos<>=  …………………………………………13分

由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－ …………………14分

（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，連DM。

由三垂線定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角。…………………9分

由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。

又DH＝2，

∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，

因∠DMH為銳角，∴cos∠DMH＝，  ………………………………13分

而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的補角，

故二面角D-BF-C的余弦值為－。     ………………………………14分