Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且.

①求實(shí)數(shù)的取值范圍；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）①②證明見解析；

【解析】

（1）由函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，利用兩直線垂直斜率乘積為-1列方程求解即可；

（2）①函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不相等的根.解不等式組即得解；

②先化簡得到，再構(gòu)造，其中.再利用導(dǎo)數(shù)證明，即得證.

（1）依題意，，，

故，所以，

據(jù)題意可知，，解得.

所以實(shí)數(shù)的值為2.

（2）①因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，

所以在上有兩個(gè)根，且，

即在上有兩個(gè)不相等的根.

所以解得.

當(dāng)時(shí)，若或，，，

函數(shù)在和上單調(diào)遞增；

若，，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，

故函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，.

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

②由①可知，是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根，

所以其中..

故

，

令，其中.

故，

令，

，在上單調(diào)遞增.

由于，，

所以存在常數(shù)，使得，即，，

且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，

，

又，，

所以，即，

故得證.