Question

如圖，在四面體PABC中，點D，E，F，分別是棱AP，AC，BC的中點．
（1）若G為PB的中點，且PC⊥AB，求證：四邊形DEFG為矩形；
（2）過D，E，F的平面與PB交于G，試確定四邊形DEFG的形狀？并說明理由？

Answer 1

【答案】分析：（1）運用三角形的中位線平行于底邊及平行公理得到四邊形DEFG為平行四邊形，再根據PC⊥AB得到四邊形的一個內角為直角；
（2）由線面平行的判定得到PC和AB都與平面DEF平行，再由線面平行的性質定理及平行公理得到四邊形的兩組對邊平行．
解答：（1）證明：因為D，E，F，G分別為AP，AC，BC，PB的中點，
所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF，
所以四邊形DEFG為平行四邊形．
又因為PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四邊形DEFG為矩形．

（2）四邊形DEFG為平行四邊形．
證明：因為D，E分別為AP，AC的中點，所以DE∥PC
∵DE?平面BPC，PC?平面BPC，∴DE∥平面BPC
∵DE?平面DEFG，且平面APC∩平面BPC=FG，
∴DE∥FG，同理EF∥DG，
所以四邊形為平行四邊形．
點評：本題考查了棱錐的結構特征，考查了線面平行的判定定理和性質定理，考查了學生的邏輯思維能力，此題是基礎題．