Question

在數列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n，

1

b3b4

+

1

b4b5

+…+

1

bnbn+1

＜m對于任意的n∈N*，且n≥3恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據已知條件得到S_n-S_n-1=S_n-1，即

Sn

Sn-1

=2，進而求出數列{S_n}的通項公式；再根據前n項和與通項之間的關系即可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）先求出{b_n}的通項公式，再利用裂項求和法求出不等式左邊的表達式即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2），
∴S_n-S_n-1=S_n-1，∴

Sn

Sn-1

=2，
∴數列{S_n}是以S₁=a₁=1為首項，以2為公比的等比數列，
∴S_n=2^n-1．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2．
∵a₁=1不適合上式，
∴數列的通項公式為an=

1(n=1) 2n-2(n≥2).

（2）當n∈N*，且n≥3時，b_n=n-2，

1

bnbn+1

=

1

(n-2)(n-1)

=

1

n-2

-

1

n-1

，
∴

1

b3b4

+

1

b4b5

+…+

1

bnbn+1

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-2

-

1

n-1

)=1-

1

n-1

＜m恒成立，
∴m≥1．

點評：本題主要考查由遞推公式推導數列的通項公式以及裂項求和法的應用．裂項求和法適用于數列的通項為分式形式，分子為常數，分母為一等差數列相鄰兩項的乘積．