Question

已知點A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一點，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求橢圓的方程及離心率；
（2）設點C，D是橢圓上的兩點，直線AC、AD的傾斜角互補，試判斷直線CD的斜率是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓定義及橢圓上點滿足|AF₁|+|AF₂|=4，可得，a=2再把A點坐標代入橢圓方程，即可得到y值，橢圓的方程可求．
（2）只需設AC斜率，則AD斜率可知，在分別于橢圓方程聯立，找C，D坐標，利用斜率公式判斷．

解答：解：（1）∵A（1，1）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一點，F₁、F₂為兩個焦點，
|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，a=2，（2分）
 

1

4

+

1

b2

=1，
∴b2=

4

3

，∴c2=4-

4

3

=

8

3

，（4分）
∴e=

c

a

=

6

3

．橢圓的方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．（6分）
（2）設C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
∵直線AC、AD的傾斜角互補，
∴直線AC、AD的斜率互為相反數，∴直線AC：y-1=k（x-1），直線AD：y-1=-k（x-1）．（8分）
由

yC-1=k(xC-1) x2 4 + 3y2 4 =1

，得（1+3k²）x²+3（2k-2k²）x+3（k²-2k）-1=0（10分）
∵A點的橫坐標x=1一定為該方程的解．
∴xC=

3(k2-2k)-1

1+3k2

，同理，xD=

3(k2+2k)-1

1+3k2

．（12分）
∴kCD=

yC-yD

xC-xD

=

k(xC-1)+1+k(xD-1)-1

xC-xD

=

k(xC+xD)-2k

xC-xD

=

1

3

．
故直線CD的斜率為定值

1

3

．（13分）

點評：此題考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關系，，屬于常規題，解題時認真分析，找準突破口，