Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，定義函數(shù)f（x）=x-[x]．則下列結(jié)論中正確的有

②④

①函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]
②方程f(x)=

1

2

有無(wú)數(shù)個(gè)解
③函數(shù)f（x）的圖象是一條直線  
④函數(shù)f（x）在區(qū)間[k，k+1）（k∈Z）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：因?yàn)閇x]表示不超過x的最大整數(shù)，研究函數(shù)的周期性和值域，據(jù)此畫出函數(shù)的圖象，從而使問題得到解決．

解答：解：∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，{x}=x-[x]=x-0=x，
∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），故①錯(cuò)誤；
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，{x}=

1

2

，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，
∴x=

1

2

+k時(shí)（k∈Z），{x}=

1

2

，∴②是正確的，

由上圖可知③錯(cuò)誤；④正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的情況下，對(duì)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是就問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．